已知抛物线y=x^2-(2m+4)x+m^2-10与x轴交于A.B两点,C是抛物线的顶点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 04:02:14
完整的题目：已知抛物线y=x^2-(2m+4)x+m^2-10与x轴交于A.B两点,C是抛物线的顶点.若三角形ABC为等边三角形,求此抛物线的解析式

y=x^2-(2m+4)x+m^2-10
=(x-(m+2))^2-(m+2)^2+m^2-10
=(x-(m+2))^2-4m-14
所以顶点坐标是((m+2),-(4m+14))
把y=0代入抛物线方程
x^2-(2m+4)x+m^2-10=0
根据韦达定理
x1+x2=2m+4
x1*x2=m^2-10
解得 x1=m+2+√(4m+14),x2=m+2-√(4m+14)
AB的长为|x1-x2|=2√(4m+14)=2√2
AC两点之间距离平方为
AC^2=((m+2)-(m+2+√(4m+14)))^2+(-(4m+14)-0)^2
=(4m+14)+(4m+14)^2
因为是正三角形，所以AB=AC,AB^2=AC^2
(2√(4m+14))^2=(4m+14)+(4m+14)^2
解得m1=-11/4,m2=-7/2(舍弃，因为顶点y坐标为0)
代入方程可得
y=x^2+3x/2-39/16